Diviseurs dépendants - Corrigé

Énoncé

Démontrer que si un entier n'est pas divisible par \(3\) , alors il n'est pas divisible par \(12\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) . On suppose que \(n\) n'est pas divisible par \(3\) . 

Raisonnons par l'absurde et supposons que \(n\) est divisible par \(12\) .

Il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n=12k\) . On a alors :  \(\begin{align*}n=15k=3 \times 5k=3k'\end{align*}\)  avec \(k'=5k \in \mathbb{Z}\) .

Ainsi, \(n\) est divisible par \(3\) : c'est absurde. Par conséquent, \(n\) n'est pas divisible par \(12\) .

Variante : un entier divisible par \(12\) est divisible par \(3\) , car \(3\) divise \(12\) . Par contraposée, un entier qui n'est pas divisible par \(3\) n'est pas divisible par \(12\) .